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凯利公式

Lym2025/11/11大约 9 分钟数学工具资金管理

凯利公式

1. 引言

凯利公式是一套用于资金管理与风险控制的数学工具，核心目标是在重复性投注/投资场景中，计算最优资金投入比例，实现长期复利收益率最大化，同时规避过度投注导致的大幅亏损。

标准凯利公式仅适用于「赢/输二元结果」（赢则赚固定倍数、输则亏全部本金），但现实场景常存在「平本（不赚不亏）」「亏损比≠1（输时不全亏或亏超本金）」等复杂情况。本文将从基础公式出发，延伸至多场景变种，重点覆盖亏损比c>1（超额亏损）的特殊应用，兼顾理论严谨性与实战实用性。

2. 标准凯利公式（二元场景）

2.1 核心定义

适用于「无平本、输则亏光本金」的二元结果场景（赢/输），参数定义如下：

参数英文标识含义取值范围示例
最优投注比例f∗f^*总资金中应投入的百分比0≤f∗<10 ≤ f^* < 1最优投20% → f∗=0.2f^*=0.2
盈利比bb赢时净收益倍数（赚的钱/投入本金）b>0b > 0投1元赚1元 → b=1b=1
盈利概率pp盈利的可能性0<p<10 < p < 160%概率盈利 → p=0.6p=0.6
亏损概率qq亏损的可能性（与盈利概率互补）q=1−pq=1-p40%概率亏损 → q=0.4q=0.4

2.2 公式推导逻辑

核心是最大化长期对数收益率。对数收益能反映复利效应，且对亏损的惩罚更贴合实际资金管理需求。设初始资金为V0V_0，投入比例为ff，则：

  • 盈利时资金变为：V0(1+bf)V_0(1 + bf)
  • 亏损时资金变为：V0(1−f)V_0(1 - f)（因c=1c=1，亏光投入本金）

长期对数收益率期望为：E[ln⁡V]=pln⁡(1+bf)+qln⁡(1−f)E[\ln V] = p\ln(1 + bf) + q\ln(1 - f)

对ff求导并令导数为0（极值条件），解得最优投注比例：

dE[ln⁡V]df=pb1+bf−q1−f=0\frac{dE[\ln V]}{df} = \frac{pb}{1 + bf} - \frac{q}{1 - f} = 0

⇒f∗=bp−qb\Rightarrow f^* = \frac{bp - q}{b}

2.3 基础公式

f∗=bp−qbf^* = \frac{bp - q}{b}

（其中q=1−pq=1-p）

2.4 应用示例

假设某项目：p=0.6p=0.6（60%盈利）、q=0.4q=0.4（40%亏损）、b=1b=1（赢1倍本金），代入得：

f∗=1×0.6−0.41=0.2f^* = \frac{1 \times 0.6 - 0.4}{1} = 0.2

即单次最优投注比例为20%。

3. 核心变种：兼容平本概率、非对称亏损比

标准公式无法覆盖「平本」「亏损比≠1」场景，以下是通用化变种，统一扩展参数定义并推导公式。

3.1 扩展参数定义（统一定义）

参数英文标识核心含义取值范围典型示例
最优投注比例f∗f^*总资金中应投入的百分比0≤f∗<10 ≤ f^* < 1最优投31.7% → f∗=0.317f^*=0.317
盈利比bb盈利时净收益倍数（赚的钱/投入本金）b>0b > 0投1元赚1.5元 → b=1.5b=1.5
亏损比cc亏损时净亏损倍数（亏的钱/投入本金）c>0c > 0亏80% → c=0.8c=0.8；亏1.2倍本金 → c=1.2c=1.2
盈利概率pWp_W赚钱的可能性0<pW<10 < p_W < 150%概率盈利 → pW=0.5p_W=0.5
亏损概率pLp_L亏钱的可能性0<pL<10 < p_L < 130%概率亏损 → pL=0.3p_L=0.3
平本概率pBp_B不赚不亏的可能性0≤pB≤10 ≤ p_B ≤ 120%概率平本 → pB=0.2p_B=0.2
概率约束-三者之和为1：pW+pL+pB=1p_W + p_L + p_B = 1-0.5+0.3+0.2=10.5+0.3+0.2=1

3.2 变种1：仅含平本概率（c=1c=1，输则亏光）

3.2.1 适用场景

输时亏光本金（c=1c=1），但存在平本结果（如部分体育投注、到期平值的期权策略）。

3.2.2 公式推导

平本结果不影响资金变化（资金保持V0(1)V_0(1)），因此对数收益期望为：

E[ln⁡V]=pWln⁡(1+bf)+pLln⁡(1−f)+pBln⁡(1)E[\ln V] = p_W\ln(1 + bf) + p_L\ln(1 - f) + p_B\ln(1)

因ln⁡(1)=0\ln(1)=0，简化后求导并令导数为0，结合pL=1−pW−pBp_L=1-p_W-p_B，解得：

f∗=b⋅pW−pLbf^* = \frac{b \cdot p_W - p_L}{b}

3.2.3 公式

f∗=b⋅pW−(1−pW−pB)bf^* = \frac{b \cdot p_W - (1 - p_W - p_B)}{b}

3.2.4 应用示例

参数：pW=0.4p_W=0.4、pB=0.2p_B=0.2、pL=0.4p_L=0.4、b=2b=2，代入得：

f∗=2×0.4−0.42=0.2f^* = \frac{2 \times 0.4 - 0.4}{2} = 0.2

最优投注比例为20%。

3.3 变种2：仅含非对称亏损比（pB=0p_B=0，无平本）

3.3.1 适用场景

无平本结果，但输时不全亏或亏更多（c≠1c≠1），如股票止损、杠杆交易。

3.3.2 公式推导

对数收益期望为：

E[ln⁡V]=pWln⁡(1+bf)+pLln⁡(1−cf)E[\ln V] = p_W\ln(1 + bf) + p_L\ln(1 - cf)

（亏损时资金变为V0(1−cf)V_0(1 - cf)，因亏cc倍本金）

对ff求导并令导数为0，结合pL=1−pWp_L=1-p_W，解得：

f∗=b⋅pW−c⋅pLb⋅cf^* = \frac{b \cdot p_W - c \cdot p_L}{b \cdot c}

3.3.3 公式

f∗=b⋅pW−c⋅(1−pW)b⋅cf^* = \frac{b \cdot p_W - c \cdot (1 - p_W)}{b \cdot c}

3.3.4 应用示例

参数：pW=0.55p_W=0.55、pL=0.45p_L=0.45、b=0.3b=0.3（赚30%）、c=0.1c=0.1（亏10%），代入得：

f∗=0.3×0.55−0.1×0.450.3×0.1=4.0f^* = \frac{0.3 \times 0.55 - 0.1 \times 0.45}{0.3 \times 0.1} = 4.0

最优比例为400%（理论支持杠杆，现实需考虑成本与流动性）。

3.4 变种3：终极通用版（含平本+任意亏损比）

3.4.1 适用场景

同时存在平本概率和非对称亏损比（覆盖绝大多数现实场景，如带止损的量化交易、复杂投注）。

3.4.2 公式推导

整合前两个变种的逻辑，对数收益期望为：

E[ln⁡V]=pWln⁡(1+bf)+pLln⁡(1−cf)+pBln⁡(1)E[\ln V] = p_W\ln(1 + bf) + p_L\ln(1 - cf) + p_B\ln(1)

简化后求导并令导数为0，结合pL=1−pW−pBp_L=1-p_W-p_B，解得公式与变种2形式一致（平本概率已融入pLp_L）。

3.4.3 公式

f∗=b⋅pW−c⋅(1−pW−pB)b⋅cf^* = \frac{b \cdot p_W - c \cdot (1 - p_W - p_B)}{b \cdot c}

3.4.4 应用示例

参数：pW=0.5p_W=0.5、pB=0.2p_B=0.2、pL=0.3p_L=0.3、b=1.2b=1.2、c=0.6c=0.6，代入得：

f∗=1.2×0.5−0.6×0.31.2×0.6≈0.583f^* = \frac{1.2 \times 0.5 - 0.6 \times 0.3}{1.2 \times 0.6} ≈ 0.583

最优投注比例为58.3%。

4. 特殊场景：亏损比c>1（超额亏损）适配

4.1 c>1的定义与场景

4.1.1 核心定义

c>1c>1表示「亏损金额超过投入本金」，即：

  • 投入1元本金，亏损时亏cc元（c>1c>1），需额外承担超额亏损；
  • 示例：c=1.5c=1.5 → 投1元亏1.5元（本金亏光后额外亏0.5元）。

4.1.2 典型场景

  • 融资融券交易：10万本金借10万（杠杆1倍），股票跌60% → 亏损11万，c=1.1c=1.1；
  • 期货/期权裸卖空：无对冲时亏损无上限（cc理论可无限大）；
  • 无止损高杠杆投资：5倍杠杆买股票，跌30% → 亏1.5倍本金，c=1.5c=1.5。

4.2 公式适配（复用通用版）

c>1c>1不改变凯利公式核心逻辑，直接复用「终极通用版公式」，仅需重点验证参数约束：

f∗=b⋅pW−c⋅pLb⋅cf^* = \frac{b \cdot p_W - c \cdot p_L}{b \cdot c}

（pL=1−pW−pBp_L=1-p_W-p_B）

核心约束

仅当「分子b⋅pW−c⋅pL>0b \cdot p_W - c \cdot p_L > 0」（期望收益为正）时，f∗>0f^*>0（值得投注）；否则应放弃（f=0f=0）。

4.3 关键差异（c>1 vs c≤1）

维度c≤1（亏≤本金）c>1（亏超本金）
单次亏损上限最多亏光投入本金无明确上限，可能负债
最优仓位f∗f^*相对较高（如c=0.1时可达400%）极低（多在30%以下）
期望收益要求较低（易满足bpW>cpLb p_W > c p_L）极高（需高胜率+高盈利比）
风险核心控制仓位止损+限杠杆+降仓位

4.4 实战示例

示例1：低杠杆超额亏损（c=1.2，期望为负）

参数：pW=0.55p_W=0.55、pB=0.1p_B=0.1、pL=0.35p_L=0.35、b=0.4b=0.4、c=1.2c=1.2，代入得：

f∗=0.4×0.55−1.2×0.350.4×1.2≈−0.417f^* = \frac{0.4 \times 0.55 - 1.2 \times 0.35}{0.4 \times 1.2} ≈ -0.417

f∗<0f^*<0 → 放弃投注（期望收益为负，长期必亏）。

示例2：高胜率高盈利比（c=1.5，可投）

参数：pW=0.7p_W=0.7、pB=0p_B=0、pL=0.3p_L=0.3、b=2b=2、c=1.5c=1.5，代入得：

f∗=2×0.7−1.5×0.32×1.5≈0.317f^* = \frac{2 \times 0.7 - 1.5 \times 0.3}{2 \times 1.5} ≈ 0.317

最优比例31.7%（现实建议用1/4凯利，降至8%左右）。

4.5 风险控制铁律

  1. 先验期望：必须验证bpW>cpLb p_W > c p_L，否则坚决不投；
  2. 强制保守：用「1/4~1/5凯利」，避免单次超额亏损击穿账户；
  3. 硬止损：设置止损线（如亏10%平仓），将cc强制控制在1以内；
  4. 限杠杆：杠杆不超过2倍，预留充足保证金；
  5. 避高频：高频交易连续亏损概率高，c>1c>1会加速亏损累积。

5. 公式与参数汇总表

5.1 核心参数定义表

参数英文标识核心含义取值范围典型示例
最优投注比例f∗f^*总资金中应投入的百分比0≤f∗<10 ≤ f^* < 1f∗=0.2f^*=0.2（20%）
盈利比bb盈利时净收益倍数（赚的钱/本金）b>0b > 0赚30% → b=0.3b=0.3
亏损比cc亏损时净亏损倍数（亏的钱/本金）c>0c > 0亏1.2倍本金 → c=1.2c=1.2
盈利概率pWp_W赚钱的可能性0<pW<10 < p_W < 160% → pW=0.6p_W=0.6
亏损概率pLp_L亏钱的可能性0<pL<10 < p_L < 130% → pL=0.3p_L=0.3
平本概率pBp_B不赚不亏的可能性0≤pB≤10 ≤ p_B ≤ 110% → pB=0.1p_B=0.1
概率约束-pW+pL+pB=1p_W + p_L + p_B = 1--

5.2 不同场景公式表

适用场景核心公式备注
标准二元（无平本、c=1）f∗=bp−(1−p)bf^* = \frac{b p - (1-p)}{b}经典凯利公式
含平本（c=1）f∗=bpW−(1−pW−pB)bf^* = \frac{b p_W - (1-p_W-p_B)}{b}平本概率降低有效亏损概率
非对称亏损（无平本）f∗=bpW−c(1−pW)bcf^* = \frac{b p_W - c (1-p_W)}{b c}兼容c<1、c=1、c>1
终极通用（含平本+任意c）f∗=bpW−c(1−pW−pB)bcf^* = \frac{b p_W - c (1-p_W-p_B)}{b c}覆盖所有现实场景
决策判断若bpW>cpLb p_W > c p_L则投，否则不投c>1时需重点验证

6. 应用注意事项与风险控制

  1. 参数依赖度高：pWp_W、bb、cc需通过历史数据/客观分析估算，主观猜测会导致决策偏差；
  2. 保守策略优先：现实中建议用「半凯利」「1/4凯利」，尤其c>1时需更保守；
  3. 动态调整参数：市场变化后（如胜率下降、止损调整），需重新估算参数并更新f∗f^*；
  4. 规避极端场景：当bpW≤cpLb p_W ≤ c p_L时，f∗≤0f^*≤0，应放弃投注；
  5. 不适用短期高频：凯利公式追求长期复利最优，短期可能出现回撤，高频交易需结合波动率加权模型。

结语

凯利公式的核心价值不在于“精准计算仓位”，而在于提供一套“风险-收益平衡”的思维框架。从标准二元场景到平本、非对称亏损，再到c>1的超额亏损场景，公式的形式逐步通用化，但风险控制的重要性始终递增。实际应用中，需敬畏市场不确定性，通过保守仓位、硬止损、动态参数调整，在“活下来”的前提下追求长期收益。